Exercices de géométrie avec des équations (25 ex.)

  • Exercice Brevet - 2011 - Métropole (série techno)

    PROBLEME

    Partie 3 - Question 7

    Les 20 panneaux photovoltaïques sont disposés les uns à côté des autres (sans espace entre eux) pour former le rectangle sur le pan du toit de la maison.

    Les dimensions ne sont pas à l’échelle.

    Pour les installer, il faut repérer leurs positions par rapport aux côtés du toit. Calculer x et y en mètre, donner le résultat à 0,01 près.

    Exercice Brevet - 2011 - Métropole (série techno) - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2009 - Centres étrangers

    Extrait d'un problème

    Une lanterne a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède.
    Le volume en cm3 de la lanterne est donné par : V(x) = 1470 + 35x

    1. Calculer ce volume pour x = 7
    2. Pour quelle valeur de x, le volume de la lanterne est-il de 1862 cm3 ?

    Exercice Brevet - 2009 - Centres étrangers - corrigé

  • Exercice Brevet - 2006 - Métropole (Série techo)

    Le terrain de Mr Jean a la forme d’un rectangle. Sa longueur est le double de sa largeur.

    1. Si Mr Jean augmente la largeur de son terrain de 15 m et diminue sa longueur de 3 m, il constate qu’il obtient un terrain carré.
      Pour déterminer la largeur initiale x, exprimée en mètre, résoudre l’équation :
      x + 15 = 2 x – 3

    2. Pour obtenir, en fonction de x, l’aire du terrain carré, développer l’expression suivante :
      (x + 15) (2 x – 3)

    3. Si x = 18, calculer, en m², l’aire de ce terrain carré.

    Exercice Brevet - 2006 - Métropole (Série techo) - corrigé

  • Exercice Brevet - 2004 - Métropole (Groupe Sud) - 2

    PROBLEME

    On donne les figures suivantes :

     

    1. Exprimer en fonction de x l'aire AABCDdu rectangle ABCD.

    2. Exprimer en fonction de x l'aire AEFGHdu quadrilatère EFGH.

    3. Dans un repère orthonormal, tracer en justifiant :
      la représentation graphique (d) de la fonction f définie par :
      la représentation graphique (d') de la fonction g définie par : 

    4. a. Calculer l'aire du rectangle ABCD pour x = 3.
      b. Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires).

    5. a. Calculer la valeur de x pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm².
      b. Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires).

    6. a. Résoudre graphiquement l'équation : 4x = 2x + 3
      b. Retrouver ce résultat en résolvant l'équation : 4x = 2x + 3
      c. Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ?

    Exercice Brevet - 2004 - Métropole (Groupe Sud) - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2004 - Métropole (Groupe Ouest) - 3

    PROBLEME


    On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm.

    La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.

    Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit un rectangle.



    Partie A

    Dans cette partie, ED = 3 cm.

    1. Faire une figure aux dimensions exactes.
    2. Calculer l'aire du rectangle ABCD.
    3. Calculer l'aire du triangle rectangle ADE.
    4. Montrer que l'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm2.

     

    Partie B

    Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED.On note ED = x (en cm). On rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.

    1. Montrer que l'aire du trapèze ABCE, en cm2, peut s'écrire 3x + 30.
    2. Sur un repère, représenter la fonction affine  x -> 3x + 30
    3. Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2. Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés sur le graphique.
    4. Retrouver ce résultat en résolvant une équation.

    Exercice Brevet - 2004 - Métropole (Groupe Ouest) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2003 - Métropole (Groupe Est) - 3

    PROBLEME

    La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol du C.D.I. d'un collège. Ce C.D.I. doit être réaménagé en deux parties distinctes : une salle de recherche et une salle de travail.

    ABCE est un trapèze rectangle tel que :
    AB = 9 m
    BC = 8 m
    DE = 6 m.

    M est un point du segment [AB].

    On pose AM = x

    (x est une distance exprimée en mètre).

    Rappel : L'aire a d'un trapèze de hauteur h, de bases b et B, est donnée par

     
     

    La documentaliste souhaite que l'aire de la salle de travail soit égale à celle de la salle de recherche.

    1. Dans cette question, uniquement, on suppose : x = 1.
      Calculer l'aire de trapèze AMFE (salle de recherche), et l'aire du rectangle MBCF (salle de travail).

    2. a. Exprimer, en fonction de x, l'aire du trapèze AMFE.
      b. Exprimer, en fonction de x, l'aire du rectangle MBCF.

    3. On se propose de représenter graphiquement cette situation à l'aide de deux fonctions affines f et g.
      f est définie par : f(x) = - 8x + 72
      g est définie par : g(x) = 8x + 24

      Sur la feuille de papier millimétrée, construire un repère orthogonal :
      - l'origine sera placée en bas à gauche,
      - en abscisse, on prendra 2 cm pour 1 unité (2 cm pour 1 m),
      - en ordonnée, on prendra 1 cm pour 4 unités (1 cm pour 4 m2).

      Représenter les fonctions affines f et g pour  .

    4. a. En utilisant le graphique, indiquer la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x), ainsi que l'aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le graphique (pointillés, couleurs...).
      b. Retrouver les résultats précédents par le calcul.

     Exercice Brevet - 2003 - Métropole (Groupe Est) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - sept

    PROBLEME

    ABCD est un rectangle.
    DC = 5cm et BC = 2,5 cm.
    N est un point du segment [AD] tel que : AN = 1, 5 cm.
    M est un point du segment [AB]. On note x la longueur du segment [AM] exprimée en centimètres (x est compris entre 0 et 5).
    AMPN et MBCR sont des rectangles notés respectivement R1 et R2.

     

    1. a. Exprimer, en fonction de x, le périmètre de R1.
      b. exprimer, en fonction de x, le périmètre de R2. Résoudre l’équation : 2x + 3 = - 2x + 15

    2. Représenter graphiquement les deux fonctions affines dans un repére orthogonal (O, I, J) avec OI = 1cm et OJ = 0, 5cm.
      et pour

    3. Quelles sont les valeurs de AM pour lesquelles le périmètre de R2 est supérieur ou égal au périmètre de R1 ?
      Aucune justification n’est attendue.

    Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - sept - corrigé

  • Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 5

    PROBLEME

    Soit le triangle PMN, rectangle en M tel que : PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm.

    Partie B :

    1. En précisant le théorème utilisé, exprimer MB et AB en fonction de x.
      A est un point quelconque du côté [PM].
      On pose : AM = x (x est donc un nombre compris entre 0 et 5).
      La parallèle à (PN) passant par A coupe le segment [MN] en B. En précisant la propriété utilisée, exprimer MB et AB en fonction de x.

    2. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle AMB.

    3. Résoudre l'équation :


    4. a. Faire une nouvelle figure en plaçant le point A de façon que le périmètre du triangle AMB soit 18 cm.
      b. Quelle est alors l'aire du triangle AMB ?

    Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 5 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 3

    1. Développer et réduire l'expression : P = (x + 12)(x + 2).

    2. Factoriser l'expression : Q = (x + 7)2 - 25.

    3. ABC est un triangle rectangle en A.
      x désigne un nombre positif.
      BC = x + 7
      AB = 5
      Faire un schéma et montrer que : AC2 = x2 + 14x + 24.

    Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Nord) - 3

    PROBLEME

    ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm.

    Deuxième partie

     

    Les points M et N peuvent se déplacer respectivement sur les segments [BC] et [CD] de façon que BM = CN = x avec 

    1. Exprimer l'aire du triangle ABM en fonction de x.

    2. a. Calculer DN en fonction de x.
      b. Démontrer que l'aire du triangle ADN en fonction de x est - 2x + 12.

    3. a. Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm, représenter graphiquement les fonctions affines :
      f(x) = 3x et g(x) = - 2x + 12

      b. Calculer les coordonnées du point R, intersection de ces deux représentations.

    4. a. Pour quelle valeur de x les aires des triangles ABM et ADN sont-elles égales ?
      Justifier la réponse.

    5. b. Pour cette valeur de x, calculer l'aire du quadrilatère AMCN.

    Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Nord) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2001 - Métropole (Groupe Sud) - 3

    PROBLEME

    On rappelle que l'aire d'un triangle quelconque est obtenue à l'aide de la formule de calcul suivante :

     Aire = 1/2 (longueur d'un côté * longueur de la hauteur correspondante)

     

    Partie I.

    Soit LAC un triangle rectangle en A. On donne : LA = 9 cm ; AC = 12 cm. (AH) est la hauteur issue de A.

    1. Calculer l'aire du triangle LAC.
    2. Montrer que : LC = 15 cm.
    3. En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que : AH = 7,2 cm.

     

    Partie II.

    On place un point M sur le côté [LC] du triangle LAC et on note x la distance LM, exprimée en cm ( 0 < x < 15).

    1. Exprimer en fonction de x la longueur MC.
    2. Le segment [AH] peut être considéré comme hauteur à la fois du triangle MAC et du triangle LAM.
      a. Montrer que l'aire du triangle LAM, exprimée en cm est 3,6 x.
      b. Montrer que l'aire du triangle MAC, exprimée en cm est 54 - 3,6x.
      c. Pour quelle valeur de x les deux triangles LAM et MAC ont-ils la même aire ? Quelle est alors cette aire ?

     

    Partie III

    Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.

    1. Tracer la représentation graphique des fonctions f et g définies par : f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 - 3,6 x.
    2. Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm2en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.
    3. Soit K le point d'intersection des deux droites obtenues.
      a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K.
      b. En utilisant les résultats obtenus à la question II 2-c :
          - Que représente l'abscisse du point K ?
          - Que représente l'ordonnée du point K ?

    Exercice Brevet - 2001 - Métropole (Groupe Sud) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2001 - Metropole (Grenoble) - 2

    PROBLEME

    Partie B

    Frédéric et Gilles ont acheté deux parcelles de terrain voisines, dessinées ci-contre.

     

    Sur cette figure, ABCD est un carré et CDE est un triangle rectangle.

    Gilles achète à Frédéric un morceau de terrain CDM où M est un point du segment [DA].
    Pour la suite, on prend AB = 40, DE = 50 et on pose DM = x  avec 0 < x < 40.

    1. a. Exprimer l'aire ACDM du triangle CDM en fonction de x.
      b. En déduire l'aire FABCM du quadrilatère ABCM et l'aire GCME du triangle CME en fonction de x.
      c. Calculer la valeur de x pour laquelle les aires F et G et sont égales.

    2. On considère les fonctions f et g définies par  et , où x est un nombre positif inférieur à 40.
      Représenter graphiquement, dans un même repère orthogonal, les deux fonctions (on prendra, sur la feuille de papier millimétré, l'origine du repère à gauche et à environ 5 cm du bas ; on choisira 1 cm pour 2 unités en abscisses et 1 cm pour 100 unités en ordonnées).

    3. Comment peut-on retrouver le résultat de la question 1.c. en utilisant les représentations graphiques de la question 2 ?

    4. En utilisant uniquement le graphique, répondre aux questions suivantes et faire apparaître les tracés ayant permis de répondre.
      a. Quelles sont les aires des terrains de Frédéric et de Gilles si le point M est le milieu du segment  [DA] ?
      b. Quelle est la valeur de x lorsque l'aire FABCM du terrain de Frédéric est 1500 ? Quelle est alors l'aire GCME du terrain de Gilles ?

    Exercice Brevet - 2001 - Metropole (Grenoble) - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2001 - Inde

    PROBLEME

    1. Dans la figure ci-dessus AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés.
      Calculer AH en fonction de x ; en déduire l'aire de AHIJ puis préciser, dans la liste ci-dessous, la (ou les) expression(s) algébrique(s) qui correspond(ent) à l'aire de la partie hachurée.
      M = (4 - x)2 - 22
      N = (4 - x - 2)2
      P = 42 - x2 - 22

    2. Développer et réduire l'expression Q = (4 - x)2 - 4.
    3. Factoriser Q
    4. Calculer Q pour x = 2. Que traduit ce résultat pour la figure ?

    Exercice Brevet - 2001 - Inde - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Amiens)

    PROBLEME

     

    Cette figure représente une fontaine en pierre ; il s'agit d'une pyramide régulière SABCD dans laquelle on a creusé une pyramide régulière TABCD correspondant au bassin qui reçoit l'eau. SABCD a pour base le carré ABCD de centre O et de côté AB = 6, et pour hauteur SO = 9. Les longueurs sont données en dm.

    Première partie

    Dans cette partie, OT = 6

    1. a. Calculer le volume du bassin TABCD
      b. Donner sa capacité en litres
    2. Démontrer que le volume de pierre de la fontaine est 36 dm3.

    Deuxième partie
    (non traitée ici)

    Troisième partie

    Dans cette partie, OT = x

    Sur une feuille de papier, tracer un repère orthogonal (O, I, J), O étant placé en bas à gauche.

    On prendra les unités suivantes :
    1 cm pour l'unité sur l'axe des abscisses ;
    1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

    1. Quelles sont les valeurs de x possibles ?
    2. Exprimer le volume de pierre de la fontaine en fonction de x.
    3. Représenter la fonction   dans le repère précédemment défini.
    4. Retrouver, à l'aide de tracés en pointillés sur le graphique, le résultat de la question 2 de la deuxième partie.
    5. a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de x pour que le volume de la pierre de la fontaine soit de 80 dm3.
      b. Trouver la valeur exacte de x en résolvant l'équation 108 - 12x = 80.

    Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Amiens) - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 3

    PROBLEME

    Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré.

    La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur.

    ABC est un triangle tel que AC = 20 cm, BC = 16 cm et AB = 12 cm.
    F est un point du segment [BC]. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
    On a représenté sur la figure le segment [EB].

    Première partie

    1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
    2. Calculer l'aire du triangle ABC.
    3. Démontrer, en s'aidant de la question 1, que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

    Deuxième partie

    On se place dans le cas où CF = 4 cm.

    1. Démontrer que EF = 3 cm.
    2. Calculer l'aire du triangle EBC.

    Troisième partie

    On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF = x, x étant un nombre tel que : 0< x < 16.

    1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3/4 x.
    2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est égale à 6x.
    3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est-elle égale à 33 ?
    4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de I'aire du triangle EBC ?

    Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 3 - corrigé

  • Exercice 451

    Quelle doit être la valeur de x pour que l’aire grisée soit égale à celle du carré ?

    équation - géométrie - triangle 

    Exercice 451 - Trouver l'équation et la résoudre - corrigé

  • Exercice 450

    Quelle doit être la valeur de x pour que l’aire du carré représente un tiers de celle du triangle ? Les côtés opposés à l’hypoténuse mesurent 10 cm et (x+5) cm.

    équation - géométrie - triangle

    Exercice 450 - Trouver l'équation et la résoudre - corrigé

  • Exercice 449

    La figure représente un triangle isocèle d’aire 6 cm². Quelle doit être la mesure de x pour partager ce triangle en deux triangles rectangle d’aire identique ?

    équation - géométrie - triangle

    Exercice 449 - Trouver l'équation et la résoudre - corrigé

  • Exercice 448

    Déterminer x pour que le périmètre du rectangle soit égal à la somme des périmètres du triangle et du carré. Le triangle est équilatéral. Les mesures sont sur la figure mais le schéma n’est volontairement pas à l’échelle.

     

    équation - géométrie - triangle - carré - rectangle

    Exercice 448 - Trouver l'équation et la résoudre - corrigé

  • Exercice 447

    Les mesures sur la figure sont données en cm.
    Déterminer la valeur de x pour que le périmètre du triangle soit égal au périmètre du rectangle.

    équation - géométrie - rectangle - triangle

    Exercice 447 - Trouver l'équation et la résoudre - corrigé