Démonstrations avec des équations (16 ex.)

  • Exercice Brevet - 2011 - Métropole - 2

    Deux affirmations sont données ci-dessous :

    Affirmation 1

    Pour tout nombre a : (2a + 3)2 = 4a2 + 9

    Affirmation 2

    Augmenter un prix de 20% puis effectuer une remise de 20% sur ce nouveau prix revient à redonner à l'article son prix initial.

    Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.

    Exercice Brevet - 2011 - Métropole - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2011 - Amérique du nord

    Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l’ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.

    1. Leslie a écrit le calcul suivant : 11 * (2 * 9) et Jonathan a écrit le calcul suivant : 102+ 2
      1. Effectuer les calculs précédents.
      2. Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ?
    2. Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat.
      1. Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ?
      2. Le professeur a-t-il choisi (-7) comme deuxième nombre ?
      3. Arthur prétend qu’en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu’il appelle n), l’équation n2 =  4 permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur. A-t-il raison ? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis.

    Exercice Brevet - 2011 - Amérique du nord - corrigé

  • Exercice brevet - 2010 - Métropole, Réunion, Mayotte - 1

    On considère le programme de calcul ci-dessous :

    • choisir un nombre de départ
    • multiplier ce nombre par (–2)
    • ajouter 5 au produit
    • multiplier le résultat par 5
    • écrire le résultat obtenu.
    1. a. Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
      b. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?
    2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0 ?
    3. Arthur prétend que, pour n’importe quel nombre de départ x, l’expression (x – 5)2 – x2 permet d’obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?

    Exercice brevet - 2010 - Métropole, Réunion, Mayotte - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2010 - Métropole - sept - 2

    On a calculé, en colonne B, les valeurs prises par l'expression x2 + x - 2 pour les valeurs de x inscrites en colonne A.  

    On souhaite résoudre l'équation d'inconnue x :

    x2 + x - 2 = 4

    1. Margot dit que le nombre 2 est solution. A-t-elle raison? Justifier la réponse.
    2. Léo pense que le nombre 18 est solution. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
    3. Peut-on trouver une autre solution ? Justifier la réponse.

    Exercice brevet - 2010 - Métropole - sept - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2009 - Nouvelle Calédonie - 1

    On donne le programme de calcul suivant :

    Choisir un nombre ;
    Lui ajouter 3 ;
    Multiplier cette somme par 4 ;
    Enlever 12 au résultat obtenu

    1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8.
    2. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
      a. Le nombre choisi est 1/3
      b. Le nombre choisi est
    3. a. A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ?
      b. Démontrer votre réponse.

    Exercice Brevet - 2009 - Nouvelle Calédonie - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2009 - Antilles - 1

    La phrase suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse.

    La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.

    Exercice Brevet - 2009 - Antilles - 1 - corrigé

  • Exercice brevet - 2009 - Amérique du Sud

    On donne A = (x - 5)2 et B = x2 - 10x + 25

    1. Calculer A et B pour x = 5.
    2. Calculer A et B pour x = -1.
    3. Peut-on affirmer que A = B quelque soit la valeur de x ? Justifier.

    Exercice brevet - 2009 - Amérique du Sud - corrigé

  • Exercice Brevet - 2008 - Métropole - sept - 2

    On a posé à des élèves de 3ème la question suivante :

    « Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre x, on a : 5x2 - 10x + 2 = 7x - 4 ?» 

    • Léa a répondu: « Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a :
      5 * 32 - 10 * 3 + 2 = 17 et 7 * 3 - 4 = 17 ».

    • Myriam a répondu : « Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace x par 0, on a :
      5 * 02 - 10 * 0 + 2 = 2 et 7 * 0 - 4 = -4 ».

    Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.

    Exercice Brevet - 2008 - Métropole (sept) - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2008 - Métropole - sept - 1

    On considère le programme de calcul :

    Choisir un nombre
      a) Calculer le carré de ce nombre.
      b) Multiplier par 10.
      c) Ajouter 25.
      Écrire le résultat.

     

    1. Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact.
    2. On choisit comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
    3. Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
    4. Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier.

    Exercice Brevet - 2008 - Métropole - sept - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2008 - Métropole - 2

    2 est-il solution de l'équation 2a2 - 3a - 5 = 1 ? Justifier.

    Exercice Brevet - 2008 - Métropole - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2007 - Métropole - 2

    On donne un programme de calcul :

     Choisir un nombre ;
     Lui ajouter 4 ;
     Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi ;
     Ajouter 4 à ce produit ;
     Ecrire le résultat.

     

    1. Ecrire les calculs permettant de vérifier si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre - 2, on obtient 0.
    2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5. 
    3. a. Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie).
      b. En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.
    4. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

    Exercice Brevet - 2007 - Métropole - 2 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 3

    1. Développer et réduire l'expression : P = (x + 12)(x + 2).

    2. Factoriser l'expression : Q = (x + 7)2 - 25.

    3. ABC est un triangle rectangle en A.
      x désigne un nombre positif.
      BC = x + 7
      AB = 5
      Faire un schéma et montrer que : AC2 = x2 + 14x + 24.

    Exercice Brevet - 2002 - Métropole (Groupe Ouest) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Metropole (Bordeaux) - 1

    1. On considère l'expression : E = (x- 3)2 - (x - 1)(x - 2).
      a. Développer et réduire E.
      b. Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de : 99 9972 - 99 999 x 99 998 ?

    2. a. Factoriser l'expression : F = (4x + 1)2 - (4x + 1)(7x - 6).
      b. Résoudre l'équation: (4x + 1)(7 - 3x) = 0.

    Exercice Brevet - 2000 - Metropole (Bordeaux) - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 3

    PROBLEME

    Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré.

    La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur.

    ABC est un triangle tel que AC = 20 cm, BC = 16 cm et AB = 12 cm.
    F est un point du segment [BC]. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
    On a représenté sur la figure le segment [EB].

    Première partie

    1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
    2. Calculer l'aire du triangle ABC.
    3. Démontrer, en s'aidant de la question 1, que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

    Deuxième partie

    On se place dans le cas où CF = 4 cm.

    1. Démontrer que EF = 3 cm.
    2. Calculer l'aire du triangle EBC.

    Troisième partie

    On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF = x, x étant un nombre tel que : 0< x < 16.

    1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3/4 x.
    2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est égale à 6x.
    3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est-elle égale à 33 ?
    4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de I'aire du triangle EBC ?

    Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 3 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 1

    On donne : D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3)2

    1. Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s'écrire: D = (2x - 3)(7x + 1)
    2. Résoudre l'équation: (2x - 3)(7x + 1) = 0.

    Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 1 - corrigé

  • Exercice Brevet - 2000 - Amérique du Nord

    On sait que A = (x - 2)2 - (x - 1)(x -4)

      1. Compléter le tableau ci-dessous :

      2. Développer et réduire A.
      3. Utiliser ce qui précède pour trouver la valeur de x permettant de calculer facilement :
        123422 - 1235 * 1232.

    Exercice Brevet - 2000 - Amérique du Nord - corrigé