Résoudre un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues x et y, c’est déterminer le couple de nombres (x;y) qui vérifie les deux équations à la fois.

C'est extraire une des valeurs (x ou y) d'une des équations et reporter cette valeur dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une inconnue à résoudre.

 

Exemple :

Résoudre le système :

1/ On extrait l'inconnue y de la 2ème équation :

3x - y = 2
-y = 2 - 3x
y = 3x - 2

 2/ On remplace y dans la première équation par l'expression trouvée précédemment :

2x + 3y = 16
2x + 3(3x - 2) = 16
2x + 9x -6 =16
11x = 22
x = 2


3/ On reprend une des deux équations et on remplace x par la valeur trouvée précédemment :

3x - y = 2
3*2 - y = 2
-y = 2 - 6
y = 4

S = {2 ; 4}

On va additioner les équations membre à membre de manière à obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue.

On va donc être obligée d'"adapter", les équations, pour qu'une inconnue disparaisse à l'addition.

 

Exemple :

Résoudre le système :

1/ On va multiplier la deuxième équation par 3, ainsi l'inconnue y disparaîtra à l'addition :


En les additionnant, on obtient :

11x = 22

x = 2

 

2/ On multiplie la première équation par (-3) et la deuxième par 2, et ainsi, on élimine l'inconnue x.

En les additionnant, on obtient :

-11y = -44

y = 4

S = {(2;4)}

 

Si les droites ne sont pas parallèle, on relève les coordonnées des points d'intersections des droites sur un graphique, elles sont solutions du système.

 

Exemple :

 

Résoudre le système   par représentation graphique

 

1/ On va mettre les équations sous la forme d'une équation de droite, y = f(x)

Ainsi :

 

2x + 3y = 16 devient :

y = 1/3 (16 - 2x)

 

Et 3x - y = 2 devient :

y = 3x - 2

 

 

2/ On trace ses deux droites et on observe leur point d'intersection :

 


 

S = {(2;4)} 

 

C'est une équation dont un membre est un produit de facteurs et l'autre membre est égal à 0.

Un produit est nul si et seulement si l'un des deux facteurs au moins est nul.

 

Exemple :

Résoudre l'équation : (x + 3)(x - 2) = 0

1/ Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses deux facteurs est nul.

Donc soit le facteur (x + 3) est nul ou soit le facteur (x - 2) est nul

 

2/ On résoud donc ces deux équations :

x + 3 = 0
x = - 3

et

x - 2 = 0
x = 2

3/ Le produit est nul pour x = -3 ou x = 2.

S = {-3 ; 2 }

C’est une équation de la forme ax² + bx + c = dx² + ex +f , avec a,b,c,d,e et f sont des nombres donnés et x l’inconnue.


Pour résoudre de telle équation il faut se ramener à la résolution d’équations du premier degré.

En général, l'astuce sera de ramener l'équation à une équation produits grâce aux identités remarquables.

 

Exemple :

Résoudre l'équation : (3x -5)² - 64 = 0

1/ On reconnaît l'identité remarquable : a² - b² = 0 qui est égale à (a + b)(a - b) = 0

(3x - 5)² - 8² = 0

(3x - 5 + 8)(3x - 5 - 8) = 0

(3x + 3)(3x - 13)= 0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si une des deux facteurs est nul.

On résoud donc les équations suivantes

3x + 3 = 0
x = -1

3x - 13 = 0
x = 13/3

2/ Le produit est nul pour x = -1 ou x = 13/3

S={-1 ; 13/3}